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El mundo quizá no es más que un conjunto de poliedros irregulares cuyas caras son extrañas y cambiantes... Veamos hasta donde y hasta cuando rueda este poliedro antes de desvanecer sus aristas y perder la planaridad de sus caras, antes de volverse una esfera... a quién alguien en el camino le diga que su destino, era rodar y rodar.

abril 25, 2010

Los blogs y los fractales

Siendo nueva en el arte de los “blogs” se pueden cometer muchos errores y extraños sucesos se dan lugar en este mundo virtual de internet. Sin embargo, no más extraños que los que se dan en el mundo real como verán en unos momentos.


Total que mi error fue ser la primera seguidora de mi propio blog. Por alguna extraña razón que guió mi dedo para jugar con el “mouse” y decidió que el “enter” de mi teclado se ejecutara en algún momento, ahora soy mi seguidora. Esto me trae a la mente dos cosas: unos entes matemáticos de gran belleza llamados fractales y a la pantera rosa.

Los fractales son objetos geométricos que no pertenecen a ninguna de las dimensiones enteras conocidas (o no conocidas). La dimensión en la que vivimos, sin tomar en cuenta las ideas relativistas de Einstein y tratando de simplificar lo más posible la idea, es la tercera dimensión o dimensión 3. Para visualizarla podemos imaginar un cubo. El cubo tiene tres dimensiones: alto, ancho y largo. Si eliminamos una de las 3 dimensiones, nos quedamos con un cuadrado en un plano que sólo tiene ancho y largo. Estamos hablando entonces, de la dimensión 2. Si eliminamos una dimensión más, nos quedamos con una línea que ya sólo posee largo y entonces hablamos de la dimensión 1. Un punto pertenece a la dimensión 0 y es entonces cuando podemos visualizar las dimensiones enteras del 0 a la 3.
Ahora bien, para la dimensión 3 podemos calcular el volumen, para la 2 el área y para la 1 el perímetro (o largo en el caso de una línea abierta). En el caso de los fractales, la dimensión es siempre una fracción, de ahí su nombre, además de que se caracterizan por una repetición de su estructura en todo tipo de escalas.

Los objetos fractales vienen, de hecho, del mundo real y no del mundo matemático (aunque después se han creado fractales a propósito). Basado en trabajos anteriores, el matemático polaco Benoit Mandelbrot inventó el nombre “fractal” en 1975 y añadió la siguiente reflexión:
"Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, los litorales no son circulares y los relámpagos no viajan en línea recta"
Y todos lo sabemos pero reflexionemos, pues, en el asunto, para entender la mente matemática de Mandelbrot. Tomemos un litoral, por ejemplo y preguntémonos ¿cuánto mide de extensión? Si contamos con una regla de 1m, el resultado final tendrá dimensiones de metros y un error atribuible a nuestra regla. No podrá ser más exacto, pues no contamos con una regla que pueda medir los pequeños recovecos menores a 1m. Si hubiéramos comenzado con otro instrumento de medición mayor a 1m, nos habríamos dado cuenta que sería más fácil terminar pero también de la imposibilidad de medir detalles menores a la escala de nuestro instrumento.
Desafortunadamente, lo mismo pasaría con instrumentos de diferentes escalas, además de que para cada instrumento nuestra medida sería distinta. De hecho, los recovecos del litoral se comportan como un fractal, pues a diferentes escalas aparece la misma estructura, recovecos grandes se repiten en recovecos pequeños e incluso recovecos minúsculos. ¿Hasta qué punto medir los dichosos recovecos?

Aquí unos ejemplos más ilustrativos de los fractales. Las estructuras del brócoli y del árbol se repiten a diferentes escalas. Un pedazo de un brócoli difícilmente se diferencia de un brócoli grande o de otro pedazo minúsculo de este vegetal. Lo mismo pasa con el árbol. Y al parecer lo mismo ha pasado con mi blog hasta ahorita…

Pero ¿y la dimensión fractal?
Bien, después de medir el litoral de la dichosa isla, te darías cuenta de que el perímetro de la isla es mayor conforme usas un instrumento de medición más fino, lo cual sin duda, no ocurriría si la isla fuera un círculo perfecto. Sin embargo, aplicando la función “logaritmo” al perímetro y dividiendo el resultado entre el logaritmo de la medida de la escala, se lograría encontrar una relación entre las medidas que nos arrojaría una constante. El llamado “efecto Richardson”.
Dicho de un modo más sencillo, consideremos un objeto de dimensión 1 y otro de dimensión fractal para compararlos. Tomemos una línea de longitud 1 (quizás 1m). Si se divide a la mitad, el número de segmentos es de 2 y la proporción de la unidad original con respecto a los segmentos es del doble (2). Si se divide en terceras partes, el número de segmentos es de 3 y la proporción de la unidad original con respecto a los segmentos es del triple (3). La dimensión de la línea, usando la relación entre los logaritmos es:
Log(número de segmentos) / Log(proporción de la unidad original con respecto a los segmentos)
O sea:
Log(2) / Log(2) = 1 para la división a la mitad
Log(3) / Log(3) = 1 para la división en terceras partes
La dimensión de la línea es 1, como ya lo sabíamos.

Ahora, tomemos el objeto fractal conocido como curva de Koch que se genera dividiendo una línea de unidad 1 (por ejemplo 1m) en tres partes, removiendo la parte intermedia y reemplazándola por un triángulo equilátero sin su base (checa que tenemos cuatro segmentos en total).

Para el siguiente nivel de la curva de Koch, ya que el fractal es infinito como se puede intuir, tenemos un total de 12 segmentos y la proporción de la unidad original con respecto a los segmentos es de 9. Vayamos de hecho, un paso atrás. Para comenzar el fractal, teníamos un total de cuatro segmentos mientras que la proporción de la unidad original con respecto a los segmentos era de 3.


Aplicando la relación entre los logaritmos para este fractal, tenemos:
Log(4) / Log(3) = 1.26 para la división en terceras partes de la unidad total (nivel 1)
Log(16) / Log(9) = 1.26 para la división en terceras partes de cada segmento, o división en novenos de la unidad total (nivel 2)
Sin ganas de que se nos cansen las neuronas, apliquemos sólo una división más.
El número de segmentos totales de de 64.
¿Te animas a contarlos ó ya le vas encontrando una relación?
Y esta vez, la división fue de 27avos, es decir, la proporción es 27. Aplicando aquello de los logaritmos:
Log(64) / Log(27) = 1.26 (nivel 3)
Bien, pues la curva de Koch es de dimensión fractal 1.26, es decir, es un objeto que ¡vive en un mundo más grande que una línea pero menor que el plano!


Y claro, mi error en el manejo del blog también me recuerda a la pantera rosa, en dónde las explicaciones matemáticas alcanzarían su punto culminante con un reto mayor… quizá la relatividad tendría algo de qué hablar en el asunto.


 

2 comentarios:

  1. Me encanta la pantera rosa! muy bueno tu post.

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    1. ¡Gracias!
      Ciertamente las caricaturas han vivido las más extrañas experiencias.

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